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Theme and Variations

一つの定理に、367 の道。

ピタゴラスの定理には、E. S. ルーミスが集めただけで 367 通りの証明がある。入試の一問にも、まだ書かれていない道がある。

c²a²b²

No. 01古代から作者不詳

再配置（二つの正方形）

同じ4つの三角形を、並べ替えるだけ。

(a+b)2=4⋅12ab+c2=4⋅12ab+a2+b2(a+b)^2=4\cdot\tfrac12ab+c^2=4\cdot\tfrac12ab+a^2+b^2
b²a²

No. 02前 300 年ごろユークリッド

『原論』I.47（風車）

斜辺の正方形を、垂線で2つの長方形に。

c2=c⋅b2c+c⋅a2c=b2+a2c^2=c\cdot\frac{b^2}{c}+c\cdot\frac{a^2}{c}=b^2+a^2

No. 033 世紀 · 中国趙爽（『周髀算経』の注）

弦図

12 世紀のバースカラ II は、同じ図に「見よ！」とだけ添えたと伝わる。

c2=4⋅12ab+(b−a)2=a2+b2c^2=4\cdot\tfrac12ab+(b-a)^2=a^2+b^2

No. 04古典作者不詳

切って回す（椅子の図）

2つの三角形を、角のまわりに 90° 回す。

a2+b2=P+2△=c2a^2+b^2=P+2\triangle=c^2

No. 0519 世紀 · 英国H. ペリガル

ペリガルの分割

4つの破片は、回さずに平行に動くだけ。

b2=P1+P2+P3+P4,a2+P1+⋯+P4=c2b^2=P_1+P_2+P_3+P_4,\quad a^2+P_1+\cdots+P_4=c^2
abc

No. 061876 · 米国J. A. ガーフィールド（のちの大統領）

台形

同じ台形の面積を、2通りに数える。

12(a+b)(a+b)=2⋅12ab+12c2\tfrac12(a+b)(a+b)=2\cdot\tfrac12ab+\tfrac12c^2
qpbab² = cqa² = cp

No. 07『原論』VI.8・VI.31作者不詳

相似

垂線で分けた三角形は、みな相似。

a2=cp,    b2=cq  ⇒  a2+b2=c(p+q)=c2a^2=cp,\;\; b^2=cq\;\Rightarrow\; a^2+b^2=c(p+q)=c^2